Міністерство освіти України Державний університет "Львівська політехніка" МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ІНСТРУКЦІЯ ДО ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ N 4 З КУРСУ "ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ АНАЛІЗУ АВТОМАТИЧНИХ СИСТЕМ" Затверджено на засiданнi кафедри "Автоматика та телемеханiка" Протокол N 12 вiд 15.02.2000p. Львів 2000   Методи розв'язування систем лінійних диференціальних рівнянь: Iнструкцiя до лабораторної роботи N 4 з курсу "Чисельні методи аналізу автоматичних систем управління" для студентiв спецiальностi 6.0914 "Комп'ютеризовані системи, автоматика і управління" / Уклали Л.В.Мороз, А.Е.Лагун - Львiв:Державний університет "Львівська політехніка", 1998.- 11 c. Укладачi: Л.В.Мороз, канд.техн.наук, доцент А.Й.Наконечний, канд.техн.наук, доцент А.Е.Лагун, асистент Вiдповiдальний за випуск І.М.Ковела, канд.техн.наук, доц. Рецензенти: І.М.Ковела, канд.техн.наук, доц. В.В.Самотий, докт.техн.наук, доц. Мета роботи: вивчити основні чисельні методи розв'язування систем лінійних диференціальних рівнянь. ВСТУП Розв'язати систему диференціальних рівнянь першого порядку
(1) чисельним методом означає для заданої послідовності аргументів x
та числа y
, не знаходячи аналітичного виразу функцій-розв'язків y
=F(x), знайти такі значення y
, щоб y
=F(x
), де і=1,...,n. Отже, чисельні методи дозволяють отримати таблицю значень функцій y
=F(x
) для заданої послідовності аргументів (аргументи змінюються з кроком інтегрування h=x
-x
). Знаходження розв'язку системи (1) при початкових умовах y(x
)=y
називається задачею Коші. Ця задача має єдиний розв'язок, який залежить від початкових умов, якщо праві частини (1) неперервні і виконується умова Ліпшица:
(2) де L - константа Ліпшица. Зауважимо, що довільне диференціальне рівняння n-го порядку

(3) можна завжди звести до системи n диференціальних рівнянь першого порядку, шляхом заміни y
(x)=y
(x). Позначимо
(4) Складемо систему диференціальних рівнянь для функцій y
,y
,...,y
. Маємо
(5) Отже, для функцій y
,y
,...,y
одержимо таку систему диференціальних рівнянь:
(6) де y
(0)=y(0), y
(0)=y'(0),..., y
(0)=y
(0). Приклад. Звести диференціальне рівняння другого порядку до системи двох диференціальних рівнянь першого порядку
Введемо заміну y
=y, y
=y'. Тоді отримаємо
1. Методи розв'язування систем диференціальних рівнянь з сталим кроком інтегрування. 1.1. Метод Ейлера. Розглянемо задачу Коші для диференціального рівняння першого порядку:


. (7) Розкладемо розв'язок y(x) в ряд Тейлора в околі точки x
:
(8) Якщо x
змінюється з кроком h, а саме x
=x
+h, припустивши, що сітка x
,x
,...,x
є рівномірною, можна отримати наближене значення y(x) в точці x
: y
=
(9) За цією формулою можна знайти y
, маючи інформацію про попередню точку, але виникають труднощі при знаходженні похідних високих порядків
. Якщо обмежитися i=1, то отримаємо формулу методу Ейлера:
(10) При переході до системи диференціальних рівнянь скалярні величини замінюються на векторні:
(11) Похибка цього методу Ейлера має порядок h
. У модифікованому методі Ейлера використовується така формула:
(12) тобто здійснюємо приріст x з половинним кроком h/2 i, знайшовши нахил інтегральної кривої в цій точці
), за цим нахилом знаходимо приріст функції на цілому кроці h. Для вдосконаленого методу Ейлера знаходять нахил інтегральної кривої в точці x
і в точці x
+h, а потім за середнім нахилом на цілому кроці h визначають приріст функції:
(13) В практичних обчисленнях застосовують також метод Ейлера з ітераціями. В ньому згідно з грубим початковим наближенням
(14) організовують ітераційний процес
(15) де k=1,2,3,... . Ітерації виконують, доки два послідовних наближення не співпадуть із заданою похибкою
. Якщо після кількох ітерацій співпадіння не відбувається, то необхідно зменшити крок. У трьох останніх методах похибка наближено дорівнює h
. Для наближеної оцінки похибки методів Ейлера зручно скористатися так званим "подвійним перерахунком", а саме : ...